Studium Kinematicum Fracturis Petrae Hydraulicae

4.1 Characteristicae Kinematicae et Coefficiens Characteristicus α

Haec sectio praecipue naturam geometricam et proprietates motus pistoni frangendi petrarum hydraulici investigat, ut motus pistoni rationalior fiat et secundum schemata motus a nobis praescripta procedat, optimaque effectus motus consequantur.

Ut kinematica pistoni frangendi petrarum hydraulici studiatur, duae conditiones clare statuendae sunt:

(1) Velocitas pistoni, cum caudam scalprī tangit, certa esse debet, ut ad velociatem maximam specificatam perveniat v _m . Id est, dum kinematica investigatur, v _m constans est; quocumque modo pisto movetur, velocitas eius, cum caudam scalprī tangit, ad velociatem maximam specificatam pervenire debet v _m . Hoc modo solummodo frangendum petrarum hydraulicum requistam energiam ictūs attingere potest. W _H .

(2) Cyclus motus pistoni T etiam constans est, ut frequēntia ictuum f _H frangendi petrarum hydraulici servetur.

Fig. 4-1 ostendit diagramma velocitatis operativae pistonis linearizatum. Punctum M coordinatas habet ( v _m , 0); punctum E coordinatas habet (0, T ); punctum N coordinatas habet (− v _m , T ). Puncta coniungentia M et E triangulum △MOE in systemate v –t coordinatarum constituunt, cuius latera rectangulorum duorum sunt respective maxima velocitas motus pistonis ad punctum impactionis et cyclus motus pistonis T . Accipiendo quodlibet punctum P (v _mo , T ₂^′) in linea Me , et iungens PO et PN, tum PN secat t -axem in K . Punctum K in axe temporis dividit cyclum motus pistonis T in duas partes: T ₁et T ₂. Manifestum est T ₁ + T ₂ = T , formans duo triangula △OPK et △ENK.

Facile demonstratur areas horum duorum triangulorum aequales esse, id est △OPK = △ENK, unde v _mo T ₂⁄ 2 = v _m T ₁/ 2. Plane, in v –t diagrammate, area quae a triangulo △OPK clauditur est cursus retractor pistons, et area quae a triangulo △ENK clauditur est cursus motorius pistons. Cursus motorius aequalis est cursui retractor — hoc datum est. Id est, curva O –P –K repraesentat variationem velocitatis pistons in cursu retractor; K –N –E repraesentat variationem velocitatis pistons in cursu motorio.

Curvatura O –P –K –N –E repraesentat variationem velocitatis pistons per totum cyclum motus T . Piston incipit cursus retractor ab puncto impactionis O ubi cum caudice scalprī contigit, accelerans ab v = 0 ad punctum P — commutationem valvulae (cum velocitas pistons ad maximam velocitatem cursus retractoris pervenit v _mo ) — piston incipit decelerare, et celeritas eius paulatim minuitur ad v = 0, attingens punctum mortuum superius (finis impetus retractionis). Tunc pisto incipit accelerare in impetu motore; cum velocitas ad v = v _m , caudam scalprī percussit exactē, et velocitas statim ad zero redit ( v = 0), atque pisto ad punctum initiale motūs suī revertitur, unum cyclum perficiēns.

Monendum est quod, cum maxima velocitas et cyclus pistōnis frāctōris petrae hydraulici uterque sint fixī, maxima velocitas impetus retractionis v _mo necesse est ut in M –E linea auxiliāriā cadat, id est in punctō P . Imaginārī potest esse infinita puncta P in lineā M –E , quae infinitas maximās velocitātēs impetus retractionis v _mo significant, id est infinitās curvās motūs cycli pistōnis — pistō habet infinitās formas motūs ex quibus optāre potest. Optimum certē formam motūs eligere debēmus. Hoc est problema dēsignī optimisationis quod in capitulīs sequentibus tractābitur.

Examinatio altior schematis motus pistoni potest fieri per analysin Figurae 4-1. Ad hoc, ex △MOE ∞ △PFE habemus:

v _m / v _mo = T \/ ( T ₁ + T ₂^″) (4.1)

Ex △PFK ∞ △ENK:

v _m / v _mo = T ₁ / T ₂^″                                                                   (4.2)

Ergo:

T \/ ( T ₁ + T ₂^″) = T ₁ / T ₂^″                                                           (4.3)

Post reordinationem:

T ₁ / T = v _mo \/ ( v _m + v _mo ) (4.4)

Ex Aequatione (4.1) perspicuum est: T et maximam velocitatem v _m , ita ut diversa schemata motus, quae vocantur, diversas curvas variationis velocitatis habeant; differentia characteristicum exprimitur per diversos valores maximae velocitatis cursus reditus v _mo et temporis cursus impellentis T ₁. Igitur hi duo parametri proprietatem habent characterizandi motus peculiares frangentis petrae hydraulici.

Sed finis noster non potest ad unum tantum specificum frangendum saxorum hydraulicum restringi; ulterius progredi debemus et indicem characteristicum abstractiorem invenire, qui ad omnia frangenda saxorum hydraulicum applicari possit. Hic index characteristicus abstractus ad omnia frangenda saxorum hydraulicum (mecanismos impactionis hydraulicos) pertinet et earum proprietates motus ac praestantiam operativam exprimit.

In aequatione (4.1), ponamus:

α = T ₁ / T                                                                                    

Tempus igitur impulsionis potentiae est:

T ₁ = αT                                                                                (4.5)

Substituendo in aequationem (4.4):

α = v _mo \/ ( v _m + v _mo ) (4.6)

Coniungentes Figuram 4-1 et aequationes (4.5) et (4.6), facile videre possumus quod α est ratio et variabilis — sine dimensione. Pro frangendo saxorum hydraulicum cum praestantiae requisitis fixis, T constans est, a frequentia determinata f _H . Itaque α necessario mutatur cum mutatione T ₁dum T ₁mutatur cum positione puncti P . Quo propius punctum P est puncto M , eo maius T ₁est et eo maius α est. Contra, quo propius punctum P est puncto E , eo minus T ₁est et eo minus α est. Eadem conclusio ex aequatione (4.3) deducitur. In aequatione v _mo est variabilis dum v _m est constantis, quae ab energia impactus determinatur. Itaque α variat secundum v _mo dum v _mo variat secundum positionem puncti P . Quo propius punctum P est puncto M , eo maius v _mo est et eo maius α est, et contra.

Ideo haec intellectio consequitur: dato fixo v _m et T , magnitudo v _mo specifice motus proprietates pistoni repraesentare potest, dum α ut variabilis abstracte motus proprietates omnium pistonum frangentium petram hydraulicorum repraesentat. Ob hanc causam, definimus α ut coefficientem characteristicum cinematicum frangentis petram hydraulicum. α debet habere valorem optimum correspondenter α _u .